Proyecto Catapulta para Cinemática y Dinámica
Justificación
del proyecto
La realización del presente proyecto
aplicando los conceptos adquiridos respecto al tema de tiro parabólico visto
durante el semestre
Planteamiento
del problema
Determinar
el análisis apropiado del mecanismo que hace posible la representación de un
tiró parabólico de manera gráfica y matemática
Objetivos:
- Representar el tiro
parabólico mediante un mecanismo (catapulta).
- Representar gráficamente la
trayectoria de un proyectil
- Analizar las variables que
intervienen en el movimiento de tiro parabólico.
Metas
propuestas
Análisis
de un Tiro parabólico en función de los parámetros involucrados durante dicho
movimiento
Metodología
·
Identificación de un mecanismo que genere el movimiento de tiro
parabólico.
·
Construcción del mecanismo que represente el movimiento descrito.
·
Análisis del mecanismo con respecto a la geometría del movimiento a
analizar.
·
Establecimiento de las ecuaciones matemáticas que describen el
movimiento de tiro parabólico.
·
Resolución de los modelos planteados y compararlos con los obtenidos
experimentalmente.
De
acuerdo a los resultados obtenidos, establecemos que el tiro parabólico es
fácilmente discutible en cuanto a sus representaciones matemáticas, contando
así con la habilidad de calcular un buen tiro conociendo principalmente la
velocidad de salida y el ángulo de inclinación del proyectil al salir de la
catapulta.
CATAPULTA
Introducción
El
presente proyecto denominado “catapulta” , se presenta
para realizar un análisis de carácter demostrativo del tema correspondiente a
Tiro parabólico visto en la asignatura de Cinemática y Dinámica durante el
presente semestre.
Se describirá de forma general la historia de
la catapulta a lo largo de la historia, así como sus diversas variantes
diseñadas con un fin bélico, posteriormente se realizara un modelo de catapulta
para analizar el movimiento que realiza el proyectil al ser disparado por tal
mecanismo, denominado proyectil; éste movimiento denominado tiro parabólico
depende principalmente de la velocidad que tenga el proyectil al momento de ser
expulsado por la catapulta, de esto dependerá la distancia que alcance el
dispositivo, y la discusión del problema que se ha planteado, la descripción
del movimiento se realizará por medio de relaciones matemáticas que ayuden a
representar el movimiento de una forma directa.
HISTORIA
Se cree que la catapulta (katapeltikon) fue
desarrollada alrededor del año
Los artesanos de artillería romanos, idearon una solución a uno de sus
problemas más grandes. Este problema era la catapulta de Palintones
que lanzaba piedras, llamada Ballesta por los Romanos.
La más grande de éstas máquinas era capaz de lanzar
El Onagro fué una de las catapultas que más variantes tubieron. Desde el Onagro de 90°, con honda, hasta el Onagro inclinado con ruedas. Pasando por el Mangonel medieval con ruedas y cuchara en lugar de honda.
Clasificación
de las catapultas:
Hay
mucho escrito sobre los nombres con que se conocían a las catapultas, con lo
que resulta difícil reconocer el tipo y clasificarlas de esa manera, pues
dependiendo del tipo de proyectil que lanzaban, el tamaño, el lugar geográfico,
el tiempo, etc. se les llamaba de diferentes maneras.
Para facilitar el
reconocimiento de las catapultas las podemos clasificar según su sistema de
poder. Así podemos encontrar catapultas que funcionan con la energía
suministrada por la tensión, torsión, contrapeso y tracción.
Las catapultas de
tensión son las que funcionan gracias a que almacenan su energía, al ser
tensado un arco de metal, madera o cuerno y fueron las primeras en hacer su
aparición, ya que descienden directamente de los arcos manuales. Algunas
catapultas de asalto romanas utilizaban este sistema desde la primera centuria
antes de Cristo, con algunas variantes.
Las catapulta de
torsión, son aquellas que son accionadas gracias a la fuerza almacenada al
"torcer", una madeja de cuerdas, tendones o crin de caballo, según la
época de que se trate. Los romanos fueron los perfeccionistas de este tipo de
catapulta. Algunos ejemplos de este tipo son: Las ballestas romanas, los
Onagros, el escorpión, etc.
La catapulta de
contrapeso fué un invento aparentemente reciente; por
lo menos eso dicen algunos autores, sin embargo no todos coinciden en ello.
Esta catapulta funcionaba a base de un contrapeso, con una masa muy superior al
peso del proyectil, en el caso del Trebuchet con una relación que variaba de
La catapulta de
tracción fué un invento de los chinos que llamaron hsuan feng, utilizada apróximadamente
en el año 200 de nuestra era.. Esta catapulta funciona
a base del impulso humano y su principio es muy parecido al del trebuchet; es
decir, utilizan la palanca y la honda para aumentar la fuerza de salida del
proyectil. Esta catapulta fué sin duda el antepasado
del Trebuchet, ya que es natural su evolución.
El Trebuchet (Tripantum)
fué una de las armas favoritas en la edad media, se
cree que fué un invento de los chinos y que de ahí se
extendió a los árabes vía Persia, para posteriormente llegar a Europa donde se
desarrolla la versión pesada de contrapeso. Tenía una ventaja con respecto a
sus primos contemporaneos, y era que podía lanzar
diferentes tipos de proyectiles; desde rocas, animales muertos en
descomposición, hasta mensajes, sobre las murallas de las fortificaciones y
castillos. Su ingeniería demostraba varios principios físicos básicos y su
arquitectura era muy simple y elegante.
Hubo varias
versiones del trebuchet como la "Biffa" o "Couillars", que eran básicamente un
trebuchet con dos contrapesos en lugar de uno sólo, y con un solo poste de
soporte enmedio. Esta máquina fué
más eficiente que el trebuchet normal, y compitió con la artillería de pólvora
por mucho tiempo. La palabra "Couillars",
significa "testículos" en el viejo francés.
El Mangonneau fué un arma de asedio, muy parecida al Trebuchet, con la
diferencia que el contrapeso, estaba fijo; es decir, no colgaba de un pivote
como lo hace en el Trebuchet, además necesitaba la fuerza de varios hombres
para incrementar el empuje de dicho contrapeso. También se le conoce como
Trebuchet de tracción.
Otra máquina de
tracción similar al Trebuchet fué la "Bricol", que básicamente era un Mangonneau,
más pequeño, que podía manejarse con menos hombres.
En la edad media
aparecieron muchas máquinas de guerra y asedio, con características y nombres
realmente variados. Algunas quedaron sólo como proyectos y no llegaron a
fabricarse realmente (Como algunos modelos de Leonardo Da Vinci).
USO
DE LAS CATAPULTAS
Puesto que las paredes eran una de las formas más insuperables de defensa que una ciudad podía tener, parece lógico que éstas fueran su principal blanco. Las catapultas también se han utilizado directamente contra tropas, y como es de esperarse, se montaron también en naves de guerra.
Las catapultas tales como
EL Mangonel y el Trebuchet
catapultas clásicas de la edad media, se utilizaban principalmente contra
fortificaciones, donde era preciso lanzar desde grandes distancia grandes rocas
y material incandescente. El trebuchet sin embargo fué
el arma de asedio por excelencia en Europa. Con una longitud del brazo
impresionante de 12 mts. podía lanzar proyectiles de
El Onagro, fue redescubierto en la edad media y se le llamó Mangonel, al igual que muchas otras armas, sufrieron diversas variantes, dependiendo del lugar, uso, conocimientos y necesidades. Los nombres también dependían de los lugares de fabricación o utilización, como el Trebuchet medieval, que se le llamó de nombres tan diferentes como: Machinella, Tripantum, Petriera, Manga, Ingenium, Etc.
TIPOS
DE PROYECTILES
En el caso de la guerra y específicamente en el caso de las catapultas, se han utilizado como municiones o proyectiles gran cantidad de objetos. Desde los clásicos: flechas y piedras; hasta animales muertos, serpientes, cabezas de enemigos, arena ardiente, heces, etc. Todo con el afán de sacar ventaja al enemigo, ya sea destruyéndolo, bajándole la moral, enfermándolo, asustándolo, distrayéndolo, etc. He aquí algunas muestras de éstos proyectiles (registrados históricamente)
- ROCAS
- BOLAS DE PIEDRA TALLADAS
- FLECHAS DE HIERRO
- PROYECTIL DE PLOMO
- CESTOS DE SERPIENTES VENENOSAS
- CADÁVERES DE CABALLOS ENFERMOS
- OLLAS DE ARCILLA LLENAS DE GAS ASFIXIANTE
- BARRILES INCENDIARIOS CON QUÍMICOS ALMIBARADOS
- NIDOS DE AVISPAS
- CADÁVERES DE SOLDADOS ENEMIGOS CAPTURADOS
- CABEZAS DE MENSAJEROS
- ESTIÉRCOL DE GANADO
Como hemos visto las catapultas han sido muy
importantes a lo largo de la historia, ahora pasaremos a la parte de la
construcción de nuestra catapulta.
Las piezas mostradas en ésta parte son las
que darán forma a nuestro mecanismo de catapulta.
Llantas,
eje, rondanas y tornillos de sujeción Resorte
El
producto terminado queda entonces de la siguiente manera
Lateral Frontal
Posterior
Ahora
veremos los resultados obtenidos en 10
ocasiones en que se disparó la catapulta.
|
Intento |
Longitud
[m] |
|
1 |
3.80 |
|
2 |
4.1 |
|
3 |
3.9 |
|
4 |
4.0 |
|
5 |
3.90 |
|
6 |
4.0 |
|
7 |
3.80 |
|
8 |
4.0 |
|
9 |
4.1 |
|
10 |
3.8 |
|
Promedio |
3.94 |
El
parámetro inicial que tenemos que tomar en cuenta durante el movimiento de tiro
parabólico es:
A partir de este establecimiento,
podemos determinar la ecuación de la velocidad de la partícula, para establecer
la componente en 
de manera adecuada es
necesario señalar que hay que añadir el valor de la derivada de la aceleración
que teníamos anteriormente
Donde los valores de (
) y 
) son las componentes escalares de la descomposición del
vector
Una vez obtenida la ecuación que nos permite analizar la velocidad de la partícula, obtendremos el modelo que nos permita analizar la posición de la partícula a lo largo de su trayectoria.
Esto es:
Entonces la velocidad inicial que
usaremos 
como la velocidad con
la que sale el proyectil al abandonar la catapulta tenemos lo siguiente al
igualarlo con el modelo matemático
Para i
Para j
Despejando de 1 el parámetro t
Sustituyendo el valor de t en la ecuación 2 tenemos:
Sabemos que 
y entonces la
ecuación se reduce a
Sabemos que el angulo θ =20º, entonces sustituyendo el valor tenemos:
Y finalmente tenemos
Que es la velocidad promedio inicial del
proyectil al comenzar el movimiento parabólico.
Y el tiempo promedio en el cual el proyectil
toca el objetivo es:
Sustituyendo el valor de V0 y el valor del ángulo de salida tenemos
Que es el tiempo promedio en el que la
catapulta llega a su distancia máxima.
Ahora bien, teóricamente éste sería el
resultado, para comprobarlo con los medios experimentales determinaremos la
velocidad inicial por medio de la tensión del resorte y la igualaremos a la
energía Cinética en su punto de salida.
Donde
K= constante del resorte.
d= Elongación o deformación del resorte.
m= masa del proyectil.
Primeramente determinaremos la
constante del resorte mediante el uso de un dinamómetro y el empleo de
mediciones, así como la graficación en Excel de los resultados obtenidos.
Deformación Fuerza
[m] [N]
|
0.003 |
3.5 |
|
0.005 |
4 |
|
0.008 |
4.5 |
|
.01 |
5 |
|
.015 |
6 |
|
0.025 |
7 |
|
0.035 |
8 |
|
0.04 |
9 |
|
0.05 |
10 |
|
0.06 |
11 |
Entonces la constante del resorte es:
Ahora bien, continuando con esta parte del
proyecto, sabemos que la masa del proyectil es m= 0.0352 [Kg]
Sustituyendo los datos tenemos
Queda entonces demostrado que el análisis del
tiro parabólico expuesto cumple en ambos casos con las velocidades iniciales,
salvo un pequeño error que cuantificaremos ahora:
Por lo tanto el error no es muy significativo, aunque puede ser debido a la fricción del brazo de la catapulta o algún error en la medición para determinar la constante del resorte.
Universidad
Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
Cinemática y
Dinámica
Proyecto
Prof. Ing. Jaime Martínez Martínez
**Por mi raza hablará mi espíritu**