TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

 

En muchos  análisis en los que intervienen matrices, es conveniente emplear la transpuesta de una matriz. En esta sección se define la transpuesta de una matriz, le de una suma o diferencia de matrices, y la de un producto de matrices.

La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m, denotada por , cuyas filas son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas de A. Por tanto, si

 

 

 

 

Entonces la transpuesta de A es

 

 

 

 

Nótese que la transpuesta de un vector fila n-dimensional es un vector columna también n-dimensional, y análogamente, la transpuesta de un vector columna de n-dimensiones es un vector fila de n-dimensiones también. La transpuesta de una matriz diagonal es la misma matriz diagonal.

 

EJEMPLO

 

 

Si , entonces

 

Si , entonces

 

 

 

Si , entonces

 

 

 

Si , entonces

 

 

 

Si , entonces

 

 

 

Si , entonces

 

 

 

Si una matriz (cuadrada) y su transpuesta son iguales, es decir,  para toda i y toda j, entonces la matriz se denomina simétrica (con respecto a su diagonal principal). En los dos últimos ejemplos citados, las matrices son simétricas.

 

Una matriz simétrica que al multiplicarse por si misma queda igual, se dice que es idempotente. Por tanto, A es idempotente sólo si

 

= A        y          AA = A

 

 

EJEMPLOS

 

A.

Una matriz identidad (de cualquier orden) es idempotente, puesto que

 

In´ = In               y          In In = In

 

 

B.

La matriz

 

        es idempotente, puesto que                y         

 

 

TRANSPUESTA DE UNA SUMA O DE UNA DIFERENCIA DE MATRICES

 

La transpuesta de una suma o diferencia de matrices es igual a la suma o diferencia de las transpuestas de las matrices; por consiguiente,

 

(Amxn ± Bmxn ± Cmxn)´= A´nxm ± nxm ±nxm

 

es decir,           (di j)´mxn = (di j)nxm

 

en donde   y  .

 

EJEMPLOS



 

A.

Si   

 

entonces     [A + B + C]´ =

o de otra manera    + + C´ =

 

B.

Si   

 

entonces     [A - B + C]´ =

 

o, alternativamente,            - + C´ =

 

TRANSPUESTA DE UN PRODUCTO DE MATRICES

 

La transpuesta de un producto de matrices es igual al producto de las transpuestas de las matrices tomadas en orden inverso; por tanto,

 

[Amxn Bnxp Cpxq]´= C´qxp pxnnxm

 

 

EJEMPLOS

 

A.

Si   

entonces    

 

o en forma alternativa,           

 

B.

Si   

 

entonces* ABC =  y asimismo [ABC]´= -2 (la transpuesta de un escalar es el mismo escalar), o de otra manera,

[ABC]´ = C´B´A´=

 

 

PROBLEMAS

 

Obtenga la transpuesta de cada una de las siguientes matrices

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Respuestas a los Problemas de Número Impar

 

 

 


 

 

 


* N. Del R. Est resultado es una matriz de orden 1 que sólo puede multiplicarse con matrices de orden 1 x n, y no es propiamente el escalar `  2. Un escalar puede multiplicarse con cualquier matriz.








 

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