OPERACIONES CON MATRICES

 

Operaciones análogas a las de adición. Sustracción, multiplicación y división de números reales se pueden definir para las matrices. Puesto que una matriz es una disposición de números reales, en lugar de un solo número real, algunas propiedades de las operaciones para los números reales no tienen equivalencia en las operaciones análogas con matrices; ejemplos específicos se dan en las siguientes secciones. En esta sección se definen e ilustran la adición y la sustracción de matrices, la multiplicación de una matriz por un escalar, y la multiplicación de matrices entre sí.

 

 

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MATRICES

 

Las matrices se pueden sumar o restar solamente si son del mismo orden. La suma o la diferencia de dos matrices m x n es otra matriz m x n cuyos elementos son las sumas o diferencias de los elementos correspondientes de las matrices originales; de modo que si

 

 

 

entonces  A ± B = C

 

en donde

 

 

 

es decir, , en donde  para toda i y toda j.


 

EJEMPLO

 

                       

 

         

 

                    

 

    

 

 

PROBLEMAS

 

Obtener la matriz que resulta de cada una de las siguientes operaciones:

 

 

 

 

 

 

 

 

Respuestas a los Problemas de Número Impar

 

 

 

 



 

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR


 

Un solo número real (que equivale a una matriz 1 x 1) se denomina escalar en las operaciones del álgebra matricial. Cuando una matriz se multiplica por un escalar, cada elemento de la matriz queda multiplicado por ese escalar (que es una constante); por lo tanto, si

 

     y k es cualquier escalar (o constante)

 

entonces

 

 

EJEMPLO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

 

Dos matrices se pueden multiplicar entre sí sólo si el número de columnas en una de ellas es igual al número de filas en la otra. En particular, la matriz producto AB está definida solamente si el número de columnas en A es el mismo que el número de filas en B; en este caso se dice que las matrices A y B son compatibles ante la multiplicación, y la matriz producto tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B. Así, una matriz m x n se puede multiplicar con una matriz n x p para obtener una matriz m x p.

 

DEFINICIÓN: Cuando un vector fila 1 x n multiplica a un vector columna n x 1, el resultado es un escalar al que se le denomina producto interior de los dos vectores, y su valor es la suma de los productos de los componentes de los vectores. Por lo tanto si

 

u =               y          v

 

entonces u1xn vnx1 = w (un escalar), en donde .

 

Cuando se multiplican dos matrices, el elemento en la i-ésima fila y en la j-ésima columna de la matriz producto, es el producto interior del i-ésimo vector fila de la primera matriz con el j-ésimo vector columna de la segunda. De acuerdo con lo anterior, el producto de dos matrices puede expresarse como una matriz de sus productos interiores: Si  y , entonces AB = C, en donde

 

     es decir, .

 

 

EJEMPLO

 

 

 

en donde

 

 

 

 

 

 

 

 

 

en donde

 

 

 

 

 

 

En la multiplicación de matrices, el orden (o sucesión) según el cual se efectúa la multiplicación es muy importante. Si A es m x n y B es n x m, entonces es posible obtener las matrices producto AB, y BA; sin embargo, en general ABBA. En el producto matricial AB, se dice que A premultiplica a B, o alternativamente, que B posmultiplica a A. Como, en general, la premultiplicación y la posmultiplicación dan resultados diferentes, aun cuando ambos están definidos, se debe tener cuidado en mantener el orden apropiado en todas las multiplicaciones de matrices. Esta precaución no es necesaria en la multiplicación de números, como se recordará.


 

EJEMPLO

 

(a) Si                     y         

entonces

 

 

 

 

 

 

(b) Si       y         

 

 

entonces

 

 

 

 

 

(c) Si                          y         

 

 

entonces

 

 

 

 

 

 

NOTA: Cuando un vector fila premultiplica a un vector columna, el resultado es un producto interior, es decir, un escalar cuyo valor es la suma de los productos de los elementos de los dos vectores. Cuando un vector columna n x 1 premultiplica a un vector fila 1 x n, el resultado es una matriz cuadrada n x n cuyos elementos son los productos interiores de los vectores dados; por tanto, si

 

u =               y          v

 

entonces, como se indicó anteriormente, u1xn vnx1 = w (un escalar), en donde , y vnx1 u1xn = xnxn (una matriz cuadrada), siendo .

 

 

EJEMPLO

 

 

 

 

 

 

.

 

Aunque el orden según el cual se multiplican dos matrices afecta al resultado, el orden en el que se multiplican tres o más matrices no influye en el resultado, siempre y cuando se conserve la secuencia de las operaciones, Es decir,

 

Amxn Bnxp Cpxq = Amxn(Bnxp Cpxq) = (Amxn Bnxp)Cpxq

 

 

 

Una propiedad correspondiente se tiene en el caso de la multiplicación de números. En resumen, la adición de matrices es conmutativa, o sea, A + B = B + A, y tanto la adición como la sustracción son asociativas, es decir, A ± B ± C = A ± (B ± C) = (A ± B) ± C; la multiplicación de dos matrices no es conmutativa (es decir, ABBA) pero la de tres o más es asociativa, es decir ABC = A(BC) = (AB)C. Tratándose de números, la adición, la sustracción y la multiplicación son asociativas y conmutativas.

 

EJEMPLOS

 

A.

 

 

 

 

 

 

 

 

O por asociatividad,

 

 

 

 

 

 

B.

 

 

 

 

 

O bien por asociatividad,

 

 

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

O por asociatividad,

 

 

 

D.

 

 

 

 

 

 

Alternativamente, por asociatividad,

 

 

 

 

 

 

 

PROBLEMAS

 

Obtener la matriz resultante de cada una de las siguientes operaciones:

 

 

 

 

 

 

Respuestas a los Problemas de Número Impar

 

 

 

 

 

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